Producto de Moyal

En matemáticas, el producto de Moyal, nombrado por José Enrique Moyal, es quizás el ejemplo más conocido de un producto de la estrella del espacio de la fase: un producto asociativo, no conmutativo, ★, en las funciones en ℝ, equipado con su soporte de Poisson (con una generalización a symplectic multiplica abajo).

Este producto de la estrella particular también a veces se llama el producto Weyl-Groenewold, ya que fue introducido por H. J. Groenewold en 1946, en una apreciación mordaz de la cuantificación de Weyl —Moyal realmente parece no saber sobre ello en su artículo famoso, y en su correspondencia legendaria con Dirac, como aducido en su biografía. (El nombramiento popular paradójico por Moyal, utilizado en este trozo, parece sólo haber surgido en los años 1970, en el homenaje a su

cuadro de la cuantificación del espacio de la fase llano.)

Definición

El producto (para funciones lisas f y g en ℝ toma la forma

:

donde cada C es cierto operador bidifferential de la orden n con las propiedades siguientes. (Véase abajo para una fórmula explícita).

:

(Deformación del producto pointwise) — implícito en la definición.

:

(Deformación del soporte de Poisson, llamado soporte de Moyal.)

:

(1 del álgebra no deforme también es la identidad en la nueva álgebra.)

:

(El complejo conjugado es antiautomorphism antilineal.)

Note que, si uno desea tomar funciones valoradas en los números reales, entonces una versión alternativa elimina el en la condición 2 y elimina la condición 4.

Si uno restringe a funciones polinomias, la susodicha álgebra es isomorphic al álgebra de Weyl A,

y las dos realizaciones de la alternativa de la oferta de cuantificación de Weyl del espacio de polinomios en variables n (o, el álgebra simétrica de un espacio vectorial de dimensión 2n).

Para proporcionar una fórmula explícita, considere a Poisson constante bivector ∏ en ℝ:

::

donde ∏ es sólo un número complejo para cada uno yo, j.

El producto de la estrella de dos funciones y se puede definir entonces como

:

- \frac {\\hbar^2} {8} \sum_ {yo, j, k, m} \Pi^ {ij} \Pi^ {kilómetro }\

(\partial_i \partial_k f) (\partial_j \partial_m g) + \ldots </matemáticas>

donde ħ es Planck reducido constante, trató como un parámetro formal aquí.

Una forma cerrada se puede obtener usando el exponencial,

::

donde está el mapa de multiplicación, y el exponencial se trata como una serie de poder.

Es decir la fórmula para es

::

Como indicado, a menudo uno elimina todos los acontecimientos del susodicho, y las fórmulas entonces restringen naturalmente a números reales.

Note que si las funciones f y g son polinomios, las susodichas sumas infinitas se hacen finitas (reduciendo al caso del álgebra de Weyl ordinario).

En distribuidores

En cualquier distribuidor de symplectic, uno puede elegir, al menos en la localidad, coordenadas por tanto como hacen la estructura symplectic constante, por el teorema de Darboux; y, usando a Poisson asociado bivector, uno puede considerar la susodicha fórmula. Para ello para trabajar globalmente,

como una función en el distribuidor entero (y no sólo una fórmula local), hay que equipar el distribuidor de symplectic con un piso symplectic conexión.

Resultados más generales para distribuidores de Poisson arbitrarios (donde el teorema de Darboux no se aplica) da la fórmula de la cuantificación de Kontsevich.

Ejemplos

Dan un ejemplo explícito simple de la construcción y la utilidad del - producto (para el caso más simple de un espacio de la fase euclidiano de dos dimensiones) en el artículo sobre la cuantificación de Weyl: Dos Gaussians forman con esto - producto según una ley de la tangente hiperbólica,

:

\exp \left (-a (x^2+p^2) \right) ~ \star ~ \exp \left (-b (x^2+p^2) \right) = {1\over 1 +\hbar^2 ab}

\exp \left (-{a+b\over 1 +\hbar^2 ab} (x^2+p^2) \right).

</matemáticas>

N.B. Note el límite clásico, ħ → 0.

Cada prescripción de la correspondencia entre espacio de la fase y Espacio de Hilbert, sin embargo, induce su propio apropiado - producto.



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